Bergische Universität Wuppertal
Fachbereich Mathematik und Naturwissenschaften
Angewandte Mathematik - Numerische Analysis (AMNA)

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Prof. Dr. M. Ehrhardt

Vorlesung im Wintersemester 2009/2010:

Theorie und Numerik hyperbolischer Erhaltungsgleichungen



Vorlesungszeiten
 
 Vorlesung   Mi, 14:15 - 15:45   Hörsaal  6  (Gebäude  G.10.06)   Termin:  wöchentlich ab 21.10.
 Vorlesung   Do, 14:15 - 15:45   Hörsaal  25  (Gebäude  T.08.18)   Termin:  wöchentlich ab 22.10.

aktuelle Terminänderungen:
VL Do, 12.11.09 verlegt auf Do, 03.12.09, 16:00 - 17:30,  Hörsaal  7
VL Mi, 18.11.09 verlegt auf Do, 10.12.09, 16:00 - 17:30,  Hörsaal  7
VL Do, 19.11.09 verlegt auf Do, 17.12.10, 16:00 - 17:30,  Hörsaal  7
VL Mi, 25.11.09 verlegt auf Do, 07.01.10, 16:00 - 17:30,  Hörsaal  7
VL Do, 26.11.09 verlegt auf Do, 21.01.10, 16:00 - 17:30,  Hörsaal  7

ausführliche Gliederung der Vorlesung

Übungsblätter, Projektblätter, Materialien

Literaturquellen zur Vorlesung

Hyperbolische Erhaltungsgleichungen sind (meist nichtlineare) partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, die die zeitliche Evolution von Transportprozessen beschreiben. Es sind zumeist Bilanzgleichungen für Dichten physikalischer Erhaltungsgrößen (Masse, Impuls, Energie). Das wichtigste Anwendungsbeispiel sind die Euler-Gleichungen der Gasdynamik, z.B. für die Umströmung von Tragflächen oder Fahrzeugen. Weitere Anwendungen treten bei der Modellierung von Flachwasserwellen, von Verkehrsflüssen, in Klimamodellen, Mehrphasenströmung und in der Magnetohydrodynamik auf.

Die Herausforderung bei der theoretischen und numerischen Behandlung von hyperbolischen Erhaltungsgleichungen begründet sich in der Tatsache, daß Lösungen von Erhaltungsgleichungen in der Regel nach einer gewissen Zeit (selbst bei glatten Anfangsdaten!) Unstetigkeiten ausbilden und daher geeignete schwache Lösungen und numerische Verfahren betrachtet werden müssen.

In der Vorlesung werden zunächst die Grundlagen der Theorie hyperbolischer Erhaltungsgleichungen eingeführt und dann numerische Verfahren zur Lösung dieser Gleichungen besprochen. Den Abschluß bildet eine Einführung in die numerische Berechnung von Lösungen auf unbeschränkten Gebieten sowie Kinetische Schemata für hyperbolische Systeme.

Für die Implementierung der praktischen Aufgaben wird Matlab bzw. Scilab empfohlen. Außerdem soll das Programmpaket Clawpack (Conservation Law Package) anhand einiger Beispiele vorgestellt werden.

Die Vorlesung ist sowohl für Studenten des Diplomstudiengang Mathematik als auch Physik geeignet.


Themen der Vorlesung:

  1. Skalare Erhaltungsgesetze
  2. Lineare hyperbolische Systeme, Beispiele nichtlinearer Systeme
  3. Schock- und Verdünungswellen, Kontaktunstetigkeiten
  4. Numerische Methoden für lineare Gleichungen
  5. Berechnung unstetiger Lösungen
  6. Konservative Methoden für nichtlineare Probleme
  7. Das Godunov-Verfahren
  8. Näherungsweise Lösung des Riemann-Problems
  9. Nichtlineare Stabilität
  10. Hochgenaue Methoden
  11. Randbedingungen
  12. Berechnung von Lösungen auf unbeschränkten Gebieten
  13. Kinetische Schemata für hyperbolische Systeme
ausführliche Gliederung der Vorlesung.


Literatur:


Vorkenntnisse: Analysis I - III, Grundkenntnisse gewöhnliche Differentialgleichungen.


Scheinkriterium: Regelmäßige Teilnahme und Mitarbeit in den Übungsgruppen, sowie Erreichen von 50 % der möglichen Punkte auf den ersten vier bzw. der restlichen Übungsblättern und mindestens 2/3 der möglichen Punkte für die praktischen Aufgaben.
Alternativ hierzu können die erlernten theoretischen wie numerischen Methoden in einem konkreten Projekt, wie z.B. der Modellierung von Flachwasserwellen schrittweise in Gruppenarbeit angewendet werden.


geplante Fortsetzungsveranstaltung im Sommersemester 2010:

Ergänzende und weiterführende Literatur:



University of Wuppertal
Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Department of Mathematics
Applied Mathematics & Numerical Analysis Group

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