Hyperbolische Erhaltungsgleichungen sind (meist nichtlineare) partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, die die zeitliche Evolution von Transportprozessen beschreiben. Es sind zumeist Bilanzgleichungen für Dichten physikalischer Erhaltungsgrößen (Masse, Impuls, Energie). Das wichtigste Anwendungsbeispiel sind die Euler-Gleichungen der Gasdynamik, z.B. für die Umströmung von Tragflächen oder Fahrzeugen. Weitere Anwendungen treten bei der Modellierung von Flachwasserwellen, von Verkehrsflüssen, in Klimamodellen, Mehrphasenströmung und in der Magnetohydrodynamik auf.

Die Herausforderung bei der theoretischen und numerischen Behandlung von hyperbolischen Erhaltungsgleichungen begründet sich in der Tatsache, daß Lösungen von Erhaltungsgleichungen in der Regel nach einer gewissen Zeit (selbst bei glatten Anfangsdaten!) Unstetigkeiten ausbilden und daher geeignete schwache Lösungen und numerische Verfahren betrachtet werden müssen.

In der Vorlesung werden zunächst die Grundlagen der Theorie hyperbolischer Erhaltungsgleichungen eingeführt und dann numerische Verfahren zur Lösung dieser Gleichungen besprochen. Den Abschluß bildet eine Einführung in die numerische Berechnung von Lösungen auf unbeschränkten Gebieten sowie Kinetische Schemata für hyperbolische Systeme.

Für die Implementierung der praktischen Aufgaben wird Matlab bzw. Scilab empfohlen. Außerdem soll das Programmpaket Clawpack (Conservation Law Package) anhand einiger Beispiele vorgestellt werden.

Die Vorlesung ist sowohl für Studenten des Diplomstudiengang Mathematik als auch Physik geeignet.

Themen der Vorlesung:

1. Skalare Erhaltungsgesetze
2. Lineare hyperbolische Systeme, Beispiele nichtlinearer Systeme
3. Schock- und Verdünungswellen, Kontaktunstetigkeiten
4. Numerische Methoden für lineare Gleichungen
5. Berechnung unstetiger Lösungen
6. Konservative Methoden für nichtlineare Probleme
7. Das Godunov-Verfahren
8. Näherungsweise Lösung des Riemann-Problems
9. Nichtlineare Stabilität
10. Hochgenaue Methoden
11. Randbedingungen
12. Berechnung von Lösungen auf unbeschränkten Gebieten
13. Kinetische Schemata für hyperbolische Systeme

Literatur:

• R. Bürger, Hyperbolische Erhaltungsgleichungen, Vorlesungsmanuskript, Universität Stuttgart, 2000.
• W. Egartner, Grundlagen der Numerik Physikalischer Erhaltungsgesetze (PDF-Version), Vorlesungsskript, IWR, Universität Heidelberg, 1998.
• A. Harten, High resolution schemes for hyperbolic conservation laws, J. Comput. Phys. 49 (1983), 357-393.
• A. Harten, On a class of high resolution total-variation-stable finite difference schemes, SIAM J. Numer. Anal. 21 (1984), 1-23.
• R.J. LeVeque, Numerical Methods for Conservation Laws, Birkhäuser, 1990.
• R.J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press, 2002, (errata).
• C. Schmeiser, Numerische Methoden für hyperbolische Erhaltungssätze, Vorlesungsskript, Institut für Angewandte und Numerische Mathematik, TU Wien.
• J.W. Thomas, Numerical Partial Differential Equation: Conservation Laws and Elliptic Equations, Springer, 1999.

Scheinkriterium: Regelmäßige Teilnahme und Mitarbeit in den Übungsgruppen, sowie Erreichen von 50 % der möglichen Punkte auf den ersten vier bzw. der restlichen Übungsblättern und mindestens 2/3 der möglichen Punkte für die praktischen Aufgaben.
Alternativ hierzu können die erlernten theoretischen wie numerischen Methoden in einem konkreten Projekt, wie z.B. der Modellierung von Flachwasserwellen schrittweise in Gruppenarbeit angewendet werden.

geplante Fortsetzungsveranstaltung im Sommersemester 2010:

• keine

Ergänzende und weiterführende Literatur:

• A. Bressan, Hyperbolic Systems of Conservation Laws - The One-Dimensional Cauchy Problem, Oxford University Press, 2000.
• M.G. Crandall und A. Majda, Monotone difference approximations for scalar conservation laws, Math. Comp. 34 (1980), 1-21.
• C.M. Dafermos, Hyperbolic Conservation Laws in Contimuum Physics, Springer, 2000.
• D.R. Durran, Numerical methods for wave equations in geophysical fluid dynamics, Springer, 1999, (errata).
• E. Godlewski und P.-A. Raviart, Numerical Approximation of Hyperbolic Systems of Conservation Laws, Springer, 1996.
• A. Harten, J.M. Hyman und P.D. Lax, On finite-difference approximations and entropy conditions for shocks, Comm. Pure Appl. Math 29 (1976), 297-322.
• A. Harten, P.D. Lax und B. van Leer, On upstream differencing and Godunov-type schemes for hyperbolic conservation laws, SIAM Review 25 (1983), 35-61.
• R.L. Higdon, Initial-boundary value problems for linear hyperbolic systems, SIAM Review 28 (1986), 177-217.
• A. Jüngel, Modeling and Numerical Approximation of Traffic Flow Problems, Lecture Notes, Universität Mainz.
• M. Junk, A. Klar, J. Struckmeier und S. Tiwari, Compact Course Particle Methods for Evolution Equations, AG Technomathematik, Dept. of Mathematics, University of Kaiserslautern 1996.
• M. Junk, A Kinetic Approach to Hyperbolic Systems and the Role of Higher Order Entropies,Proceedings of HYP2000, Magdeburg.
• D. Kröner, Numerical Schemes for Conservation Laws, John Wiley & Sons, Chichester, 1997.
• A. Meister und J. Struckmeier, Hyperbolic Partial Differential Equations:Theory, Numerics and Applications, Vieweg Verlag, 2002.
• H. Nessyahu und E. Tadmor, Non-oscillatory central differencing for hyperbolic conservation laws, J. Comp. Phys. 87 (1990), 408-463.
• R.D. Richtmyer und K.W. Morton, Difference Methods for Initial-Value Problems, Interscience Publishers, 1967.
• C.W. Shu, Essentially non-oscillatory and weighted essentially non-oscillatory schemes for hyperbolic conservation laws, in Advanced numerical approximation of nonlinear hyperbolic equations, Lecture Notes in Mathematics 1697, Springer, 1998, 325-432.
• J. Smoller, Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations, Springer, 1983.
• G.A. Sod, A Survey of Several Finite Difference Methods for Systems of Nonlinear Hyperbolic Conservation Laws, Journal of Computational Physics 27 (1978), 1-31.
• N. Trefethen, Group velocity in finite difference schemes, SIAM Review 24 (1982), 113-136.
• G. Warnecke, Analytische Methoden in der Theorie der Erhaltungsgleichungen, Teubner, 1999.
• G.B. Whitham, Linear and Nonlinear Waves, John Wiley & Sons, Chichester, 1974.