In der Finanzmathematik sind viele Probleme nicht geschlossen lösbar. In diesem Seminar geht es um die effiziente und stabile numerische Lösung solcher Probleme. Hierbei werden wir eine Reihe von (vorwiegend exotischen) Derivaten mittels verschiedener, maßgeschneiderter numerischer Verfahren bewerten:

• Finite Differenzenverfahren: 'high-order compact methods' (HOC), 'grid stretching' Techniken
• Methode der finiten Elemente
• Integraltransformationen ((partielle) Laplace, Mellin, Laplace-Carson, schnelle Fouriertransformation, usw.)

Die Einteilung der Gruppen erfolgt auf Grund der Kenntnisse, Interessen und Möglichkeiten der TeilnehmerInnen. Die Zusammensetzung der Gruppen erfolgt unter dem Gesichtspunkt der Komplementarität. Analytisch besonders Interessierte sollen mit numerisch Versierten und Computercracks zusammenarbeiten. Im Idealfall wird jeder Vortrag von einem anderen Gruppenmitglied gehalten. Dabei kommt jedem/jeder TeilnehmerIn in unterschiedlichen Phasen des Seminars eine Führungsrolle zu.

Scheinkriterium:

  Präsentation

• Erläuterung des Anwendungsproblems
• Mathematische Modellierung (evtl. mehrstufig)
• Lösung / Analyse / Numerik
• Diskussion der Resultate und ihrer Relevanz für die Anwendung
• Für die Präsentation wird Prosper bzw. HA-Prosper oder PPower4 empfohlen
  ( Verschiedene Präsentationsprogramme)
• Evtl. numerische Simulationen (möglichst in Matlab, Scilab oder Octave)
  Schriftliche Ausarbeitung (ca. 10 Seiten, inkl. Beispiele)
  Regelmässige Teilnahme am Seminar

Vorkenntnisse:
Basiswissen mathematischer Grundvorlesungen wird vorausgesetzt.
Wünschenswert ist eine erfolgreiche Teilnahme an Lehrveranstaltungen der praktischen und numerischen Mathematik sowie Grundkenntnisse der Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen.

Pressemitteilung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (DMV):
Hätte die Mathematik die derzeitige Finanz- und Wirtschaftskrise vorhersagen oder gar verhindern können? Dies mögen sich angesichts der Finanzkrise viele fragen - Kleinanleger ebenso wie solche, die sich beruflich mit Wertpapieren und anderen Finanzprodukten beschäftigen. Aus Anlass der anhaltenden Finanzkrise hat die Deutsche Mathematiker-Vereinigung Hintergrundinformationen zum Thema Mathematik und Finanzen zusammengestellt.

Literatur:

• Y. Achdou und O. Pironneau, Computational Methods in Option Pricing, SIAM, 2005.
• F. AitSahlia und P. Carr, American Options: A Comparison of Numerical Methods, Numerical Methods in Finance, L.C.G.Rogers and D.Talay (ed.), Cambridge University Press, 1997, Seiten 67-87.
• J. Ankudinova und M. Ehrhardt, On the numerical solution of nonlinear Black-Scholes equations, Comput. Math. Appl. 56 (2008), 799-812.
• M. Ehrhardt und R.E. Mickens,, A fast, stable and accurate numerical method for the Black-Scholes equation of American options, Int. J. Theoret. Appl. Finance 11 (2008), 471-501.
• M. Ehrhardt (ed.), Nonlinear Models in Mathematical Finance: New Research Trends in Option Pricing, Nova Science Publishers, 2008.
• M. Günther und A. Jüngel, Finanzderivate mit MATLAB, Vieweg, 2003.
• D. Higham und P. Kloeden, MAPLE and MATLAB for stochastic differential equations in finance, Programming Languages and Systems in Computational Economics and Finance (S.S. Nielsen, ed.), Kluwer Academic Publishers, Amsterdam (2002).
• D. Higham, An Introduction to Financial Option Valuation: Mathematics, Stochastics and Computation, Cambridge University Press, 2004. (with many MATLAB files)
• J.C. Hull, Options, Futures and other Derivatives, 3rd edition, Prentice Hall, 1997.
• P. Kloeden und E. Platen, Numerical solution of Stochastic Differential Equations, Springer, 1999.
• Y.K. Kwok, Mathematical Models of Financial Derivatives, Springer, Singapur, 1998.
• L.C.G. Rogers und D. Thalay, Numerical Methods in Finance, 1997.
• R. Seydel, Computational Finance, 4th edition, Springer, 2009.
• P. Wilmott, S. Howison und J. Dewyenne, The Mathematics of Financial Derivatives, Cambridge University Press, Cambridge 1996.
• U. Wystup, FX Options and Structured Products, Wiley Finance, 2006.
• P. Zhang, Exotic Options, World Scientific, Singapure 1997.

Links:

• Computational Finance domain www.compfin.de (R. Seydel)
• Modellierung und Numerische Methoden von Finanzderivaten (Wikiversity-Kurs)
• Financial Numerical Recipes in C++ (Bernt Arne Ødegaard)
• DAAD Project Fin-Diff-Fin: Finite differences for Financial derivative models

Didaktische Vortragstipps:
Wie halte ich einen Seminarvortrag (M.Lehn, Mainz)
Artikel 1, Artikel 2, Artikel 3

Links

• Master's program in Financial Mathematics (Numerical Methods), Halmstad University, Schweden.
• PREMIA - pricing financial derivatives Mathematics (MATHFI-Team at INRIA)
• Black-Scholes in Multiple Languages (Espen Haug)

Ähnliche Vorlesung im Sommersemester 2009

• Numerik partieller Differentialgleichungen (Matthias Ehrhardt)

ehrhardt@wias-berlin.de