In der Finanzmathematik sind viele Probleme nicht geschlossen lösbar. In diesem Seminar geht es um die effiziente und stabile numerische Lösung solcher Probleme. Hierbei werden wir eine Reihe von (vorwiegend exotischen) Derivaten mittels verschiedener, maßgeschneiderter numerischer Verfahren bewerten:

• Finite Differenzenverfahren: 'high-order compact methods' (HOC), 'grid stretching' Techniken, bewegte Gitter
• Methode der finiten Elemente
• Integraltransformationen ((partielle) Laplace, Mellin, Laplace-Carson, schnelle Fouriertransformation, usw.)
• Markov Chain Monte-Carlo Algorithmen
• Fourier-Inversion

In diesem Semester wollen wir uns auf das aktuelle Thema der Bewertung von Energiederivaten (Strom, Gas und Wind) konzentrieren. Hierbei muss man bei der Konstruktion der Hedgeportfolios beachten, dass die sog. Underlyings nicht (unbegrenzt) speicherbar und auch nur verzögert und nicht kontinuierlich abrufbar sind (vgl. Diplomarbeit Mai Huong Nguyen, Modeling, Pricing and Risk Management of Power Derivatives in Energy Markets, TU Berlin, September 2010).

Die Einteilung der Gruppen erfolgt auf Grund der Kenntnisse, Interessen und Möglichkeiten der TeilnehmerInnen. Die Zusammensetzung der Gruppen erfolgt unter dem Gesichtspunkt der Komplementarität. Analytisch besonders Interessierte sollen mit numerisch Versierten und Computercracks zusammenarbeiten. Im Idealfall wird jeder Vortrag von einem anderen Gruppenmitglied gehalten. Dabei kommt jedem/jeder TeilnehmerIn in unterschiedlichen Phasen des Seminars eine Führungsrolle zu.

Scheinkriterium:

  Präsentation

• Erläuterung des Anwendungsproblems
• Mathematische Modellierung (evtl. mehrstufig)
• Lösung / Analyse / Numerik
• Diskussion der Resultate und ihrer Relevanz für die Anwendung
• Für die Präsentation wird Prosper bzw. HA-Prosper oder PPower4 empfohlen
  ( Verschiedene Präsentationsprogramme)
• Evtl. numerische Simulationen (möglichst in Matlab, Scilab oder Octave)
  Schriftliche Ausarbeitung (ca. 10 Seiten, inkl. Beispiele)
  Regelmässige Teilnahme am Seminar

Vorkenntnisse:
Basiswissen mathematischer Grundvorlesungen wird vorausgesetzt.
Wünschenswert ist eine erfolgreiche Teilnahme an Lehrveranstaltungen der praktischen und numerischen Mathematik sowie Grundkenntnisse der Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen.

Einführende Literatur zu Energiemärkten:

• Torsten Wegner, Uwe Dörr, Andreas Werner, Risikomanagement mit Schwung, e|m|w Zeitschrift für Energie, Markt, Wettbewerb (Oktober 2003).
• Stefan Trück, Rafal Weron, Vorsicht Hochspannung! - Risikomanagement in Energiemärkten (Teil I), RISKNEWS Volume 1, Issue 3 (2004), Seiten 69 - 69.
• Stefan Trück, Rafal Weron, Vorsicht Hochspannung! - Risikomanagement in Energiemärkten (Teil II) Modellierung von Strompreisen, RISKNEWS Volume 1, Issue 4 (2004), Seiten 67 - 71.
• Svetlozar (Zari) Rachev, Vorsicht Hochspannung!: Risikomanagement in Energiemärkten (Teil III) Fortgeschrittene Spotpreismodelle und VaR-Ansätze, RISKNEWS Volume 1, Issue 5 (2004), Seiten 66-71.

Themen: (Literatur wird im Seminar ausgegeben)

1. Einführungen
   • R. Seydel, Tools for Computational Finance, 5th edition, Springer, 2012.
   • Monte Carlo simulations with stochastic differential equations (Chapter 3)
   • Option Pricing with Finite Differences (Chapter 4)
   • Finite Element Methods For American Options (Chapter 5)
   • Pricing of Exotic Options (Chapter 6)
   • Beyond Black and Scholes (Chapter 7)
2. Kinetische Modelle des Finanzmarkts
   Contagion and herding seem to play an important role in financial crises. The understanding of these phenomena is of paramount importance to develop strategies which help to avoid or counter balance these effects. Financial markets can be described as a many-agent system in analogy to many-particle systems of gas dynamics.
   • G. Naldi, L. Pareschi, G. Toscani, Mathematical Modeling of Collective Behavior in Socio-Economic and Life Sciences, Birkhäuser Verlag, 2010.
     • L. Boudin, F. Salvarani, Modelling opinion formation by means of kinetic equations.
     • E. Cristiani, B. Piccoli, A. Tosin, Modeling self-organization in pedestrians and animal groups from macroscopic and microscopic viewpoints.
     • B. Düring, D. Matthes, A mathematical theory for wealth distribution.
3. Agenten-basierte Methoden
   • I. Giardina, J.-P. Bouchaud, Bubbles, crashes and intermittency in agent based market models, The European Physical Journal B 31 (2003), 421-437.
   • S.-H. Chen, C.-H. Yeh, Evolving traders and the business school with genetic programming: A new architecture of the agent-based artificial stock market, Journal of Economic Dynamics and Control 25 (2001), 363-393.
   • A.P. Kirman, N.J. Vriend, Evolving market structure: An ACE model of price dispersion and loyalty, Journal of Economic Dynamics and Control 25 (2001), 459-502.
   • T.B. Klos, B. Nooteboom, Agent-based computational transaction cost economics, Journal of Economic Dynamics and Control 25 (2001), 503-526.
   • J. Bower, D. Bunn, Experimental analysis of the efficiency of uniform-price versus discriminatory auctions in the England and Wales electricity market, Journal of Economic Dynamics and Control 25 (2001), 561-592.
   • T. Preis, S. Golke, W. Paul, J.J. Schneider, Multi-agent-based Order Book Model of financial markets, Europhysics Letters 75 (2006), 510-516.
   • P. Albin, D.K. Foley, Decentralized, Dispersed Exchange Without an Auctioneer, Journal of Economic Behavior and Organization 18 (1992), 27-51.
   • D.K. Gode, S. Sunder, Allocative Efficiency of Markets with Zero Intelligence Traders: Market as a partial substitute for individual rationality, Journal of Political Economy 101 (1993), 119-137.
4. Reduzierte Basis Methoden zur Optionsbewertung
   • O. Pironneau, Calibration of options on a reduced basis, Journal of Computational and Applied Mathematics 232 (2009), 139-147.
5. Parallele numerische Methoden zur Optionsbewertung
   • Parallele Binomialbaum Algorithmen
     • A.V. Gerbessiotis, Architecture independent parallel binomial tree option price valuations, Parallel Computing 30 (2004), 301-316.
     • K. Colb, M. Phar, Option pricing on the GPU, GPU Gems 2 (2005), 719-731.
   • Parallele Monte-Carlo Algorithmen
     • J.X. Li, G.L. Mullen, Parallel computing of a quasi-Monte Carlo algorithm for valuing derivatives, Parallel Computing 26 (2000), 641-653.
     • G. Pauletto, Parallel Monte Carlo Methods for Derivative Security Pricing, in: Computing in Economics, Finance 2000, Springer, 650-657.
     • V. Podlozhnyuk, Black-Scholes option pricing, part of CUDA SDK documentation, 2007.
   • Multi-threaded FFT Algorithmen
     • P. Carr, D.B. Madan, Option valuation using the fast Fourier transform, J. Comput. Finance 2 (1999), 61-73.
     • C.C.W. Leentvaar, C.W. Oosterlee, Multi-asset option pricing using a parallel Fourier-based technique, J. Comput. Finance 12 (2009), 1-26.
     • V. Surkov, Parallel option pricing with Fourier space time-stepping method on graphics processing units, Parallel Computing 36 (2010) 372-380.
     • R.K. Thulasiram, P. Thulasiraman, Performance evaluation of a multi-threaded fast Fourier transform algorithm for derivative pricing, Journal of Supercomputing 26 (2003), 43-58.
   • Parallele numerische Methoden zur Bewertung von Asiatischen Optionen
     • K. Huang, R.K. Thulasiram, Parallel Algorithm for Pricing American Asian Options with Multi-Dimensional Assets, 19th International Symposium on High Performance Computing Systems and Applications, 2005, 177-185.
     • H. Sak, S. Özekici, I.Boduroglu, Parallel computing in Asian option pricing, Parallel Computing 33 (2007), 92-108.
   • PDGL-basierte parallele Methoden für (nicht)lineare Black-Scholes Modelle
     • I. Chiorean, Parallel Algorithm for solving the Black-Scholes equation, Kragujevac J. Math. 27 (2005), 91-100.
     • C.-H. Lai, D. Crane, A. Davies, On a Parallel Time-domain Method for the Nonlinear Black-Scholes Equation, Lecture Notes in Computational Science and Engineering, 2007, 55, Part III, 659-666.
6. Schnelle Finite Differenzen Methoden für Amerikanische Optionen
   • M. Ehrhardt, R.E. Mickens, A fast, stable and accurate numerical method for the Black-Scholes equation of American options, Int. J. Theoret. Appl. Finance 11 (2008), 471-501.
   • D. Ševčovič, An iterative algorithm for evaluating approximations to the optimal exercise boundary for a nonlinear Black-Scholes equation, Canadian Appl. Math. Quarterly 15 (2007), 77-97.
   • D.Y. Tangman, A. Gopaul, M. Bhuruth, A fast high-order finite difference algorithm for pricing American options, Journal of Computational and Applied Mathematics 222 (2008), 17-29.
   • D.Y. Tangman, A. Gopaul, M. Bhuruth, Numerical pricing of options using high-order compact finite difference schemes, Journal of Computational and Applied Mathematics 218 (2008), 270-280.
   • C. Vázquez, An upwind numerical approach for an American and European option pricing model, Appl. Math. Comput. 97 (1998), 273-286.
   • S.-P. Zhu, J. Zhang, A new predictor-corrector scheme for valuing American puts, Appl. Math. Comput. 217 (2011), 4439-4452.
7. Optionsbewertung mit Integraltransformationen
   • J.C.Cortés, L. Jódar, R. Sala, P. Sevilla-Peris, Exact and numerical solution of Black-Scholes matrix equation, Appl. Math. Comput. 160 (2005), 607-613.
   • L. Jódar, P. Sevilla-Peris, J.C.Cortés, R. Sala, A new direct method for solving the Black-Scholes equation, Appl. Math. Lett. 18 (2005), 29-32.
   • A. Mezentsev, A. Pomelnikov, M. Ehrhardt, Efficient Numerical Valuation of Continuous Installment Options, Adv. Appl. Math. Mech. 3 (2011), 141-164.
   • R. Panini, Option pricing with Mellin Transforms, Dissertation, Stony Brook University, 2004.
   • R. Panini, R.P. Srivastav, Option pricing with Mellin Transforms, Math. Comput. Modelling 40 (2004), 43-56.
8. Schnelle und genaue numerische Bewertungsmethoden für nichtlineare Black-Scholes Modelle
   • J. Ankudinova, M. Ehrhardt, The numerical solution of nonlinear Black-Scholes equations, Comput. Math. Appl. 56 (2008), 799-812.
   • J. Ankudinova, M. Ehrhardt, Fixed domain transformations and split-step finite difference schemes for Nonlinear Black-Scholes equations for American Options, Kapitel 8 in M. Ehrhardt (ed.), Nonlinear Models in Mathematical Finance: New Research Trends in Option Pricing, Nova Science Publishers, Inc., Hauppauge, NY 11788, 2008, pp. 243-273.
   • E. Dremkova, M. Ehrhardt, A high-order compact method for nonlinear Black-Scholes option pricing equations of American Options, Int. J. Comput. Math. Vol. 88, Issue 13, (2011), 2782-2797.
   • B. Düring, M. Fournier, A. Jüngel, High order compact finite difference schemes for a nonlinear Black-Scholes equation, Int. J. Appl. Theor. Finance 7 (2003), 767-789.
   • B. Düring, Black-Scholes Type Equations: Mathematical Analysis, Parameter Identification & Numerical Solution, Dissertation, University Mainz, 2005.
   • J.R. Pintos, Numerical analysis and computing of nonlinear option pricing models, PhD Thesis, Universidad Politecnica de Valencia, Spanien, 2010.
9. Fourier- und Laplace Transformation
   • E. Benhamou, Fast Fourier transform for discrete Asian options, J. Comput. Finance 6 (2002), 49-61.
   • G. Fusai, Pricing Asian options via Fourier and Laplace transforms, J. Comput. Finance 7 (2004), 87-105.
10. Numerische Bewertungsmethoden von Energie-Derivaten
    • Z. Chen, P.A. Forsyth, Implications of a regime-switching model on natural gas storage valuation and optimal operation, Quantitative Finance 10 (2010), 159-176.
    • Z. Chen, P.A. Forsyth, A semi-Lagrangian approach for natural gas storage valuation and optimal operation, SIAM J. Scientific Computing 30 (2007), 339-368.
    • T. Kluge, On the numerical pricing of swing options and the seasonality of derivative securities from the electricity market, Ph.D. Thesis, Oxford, 2006.
    • M.H. Nguyen, M. Ehrhardt, Modelling and Numerical Valuation of Power Derivatives in Energy Markets, im Druck: Adv. Appl. Math. Mech., 2011.

Didaktische Vortragstipps:
Wie halte ich einen Seminarvortrag (M.Lehn, Mainz)
Artikel 1, Artikel 2, Artikel 3

Links

• Computational Finance domain www.compfin.de (R. Seydel)
• Modellierung und Numerische Methoden von Finanzderivaten (Wikiversity-Kurs)
• Financial Numerical Recipes in C++ (Bernt Arne Ødegaard)
• DAAD Project Fin-Diff-Fin: Finite differences for Financial derivative models
• Master's program in Financial Mathematics (Numerical Methods), Halmstad University, Schweden.
• PREMIA - pricing financial derivatives Mathematics (MATHFI-Team at INRIA)
• Black-Scholes in Multiple Languages (Espen Haug)

Ähnliche Vorlesung im Sommersemester 2013