Im Gegensatz zu linearen partiellen Differentialgleichungen gibt es hierbei aber keine systematische Klassifizierung. Entsprechend ist eine Veilzahl von analytischen Techniken nötig, um die Existenz, Eindeutigkeit, Struktur und das Langzeitverhalten von Lösungen zu verstehen. In der Vorlesung sollen typische Strategien besprochen werden: Variationstechniken, konvexe Analysis, Maximumsprinzipien, Monotonie, Fixpunktmethoden, usw.

Die Vorlesung ist sowohl für Studenten der Techno- und Wirtschaftsmathematik als auch für den Diplomstudiengang Mathematik geeignet und ist Teil der Spezialisierungssequenz Differentialgleichungen und Modellierung der AG Modellierung, Numerik, Differentialgleichungen.

Themen der Vorlesung:

1. nichtlineare elliptische Probleme: Kontraktions- und Fixpunktmethoden, Variationsprobleme, monotone Operatoren)
2. nichtlineare parabolische Gleichungen (schwache Formulierung, Evolutionstripel, degenerierte parabolische Gleichungen, semilineare Reaktions-Diffusionsgleichungen, nichtlineare Halbgruppentheorie)
3. Langzeitverhalten von parabolischen Gleichungen (Spektral- und Entropiemethoden)
4. vollständig integrierbare Systeme (Korteweg-deVries Gleichung, nichtlineare Schrödinger Gleichung, Solitonen)
5. Hamilton-Jacobi Gleichungen (Variationsformulierung, Legendre-Transformation, Viskositätslösungen)

Literatur:

• A. Arnold, Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen Vorlesungsskript Universität Münster SS 2004.
• A.  Arnold: Entropy method and the large-time behavior of parabolic equations, Summer School in Ravello, Italy (2002) 1-37.
• E. Emmrich: Gewöhnliche und Operator-Differentialgleichungen, Vieweg, 2004.
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, AMS, 3rd printing 2002.
• L.C. Evans, Entropy and Partial Differential Equations, graduate course Lecture Notes, Berkeley.
• M. Giaquinta, S. Hildebrandt, Calculus of Variations I - The Lagrangian Formalism, Springer, 2004.
• D. Gilbarg, N.S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer, 1998.
• M. Grüter, The Principles of the Calculus of Variations, Skript - Universität Saarbrücken, 2001.
• W. Hackbusch, Theorie und Numerik elliptischer Differentialgleichungen, Lecture note Nr. 28/2005, Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences, Leipzig, 2005.
• M. Renardy und R.C. Rogers, An Introduction to Partial Differential Equations, Springer, New York, 1993.
• R. E. Showalter, Hilbert Space Methods for Partial Differential Equations, Electron. J. Diff. Eqns., Monograph 01, 1994.
• R. E. Showalter, Monotone Operators in Banach Space and Nonlinear Partial Differential Equations, AMS, 1997.
• W.A. Strauss, Nonlinear Wave Equations, NSF-CBMS Research Monograph No. 73, Amer. Math. Soc., Providence, 1989.
• J.L. Vazquez, An Introduction to the mathematical theory of the Porous Medium Equation, in Shape Optimization and Free Boundaries (Montreal, PQ, 1990), 347--389, NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci., 380, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1992.
• G. B. Whitham, Linear and nonlinear waves, Wiley, 1974.

Vorkenntnisse: Grundkenntnisse partielle Differentialgleichungen.
z.B. Skript Partielle Differentialgleichungen von Prof. C. Schmeiser, TU Wien

Übungen: 1-stündig (findet jede 2. Woche statt)

Scheinkriterium: Regelmäßige Teilnahme und Mitarbeit in den Übungsgruppen, sowie Erreichen von 50 % der möglichen Punkte auf den ersten vier bzw. der restlichen Übungsblättern.

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