Das Modellierungsseminar findet im WS07/08 als gemeinsame Lehrveranstaltung für die Gruppen DiplomMathematikerInnen, TechnoWirtschaftsMathematikerInnen, LehrerInnen und IngenieurInnen statt.

In gruppenspezifischer Weise modellieren die TeilnehmerInnen in Kleingruppen Fragestellungen der Physik, der Biologie, der Geologie, der Wirtschaft ... und lernen dadurch die Mathematik von einer völlig neuen Seite kennen: Mathematik ist in vielen Bereichen unseres Lebens enthalten!

Die TeilnehmerInnen berichten in mehreren Vorträgen über die Fortschritte und die Probleme ihrer Arbeit. Die mathematischen Modelle werden qualitativ-analytisch und quantitativ-numerisch untersucht. Bei dieser Vorgehensweise treten die anwendungsrelevanten Aspekte theoretischer Resultate in den Vordergrund. Dies ergänzt das Verständnis der Mathematik bezüglich praktischer Belange.

Schwerpunkt dieses Seminar werden nichtlineare gewöhnliche bzw. partielle Differentialgleichungen (Modellierung, Analysis und Numerik) sein.

Das Modellierungsseminar steht in gleicher Weise MathematikerInnen und IngenieurInnen offen. Für den Studiengang Techno- und Wirtschaftsmathematik ist das Modellierungsseminar integraler Bestandteil des Studiums. IngenieurInnen bietet sich die Gelegenheit, mit neueren mathematischen Methoden einschlägige Probleme zu lösen.

Das Basiswissen mathematischer Grundvorlesungen wird vorausgesetzt. Wünschenswert ist bei den meisten Themen eine erfolgreiche Teilnahme an Lehrveranstaltungen der praktischen und numerischen Mathematik sowie einige Programmiererfahrung.

Die Einteilung der Gruppen erfolgt auf Grund der Kenntnisse, Interessen und Möglichkeiten der TeilnehmerInnen. Die Zusammensetzung der Gruppen erfolgt unter dem Gesichtspunkt der Komplementarität. Analytisch besonders Interessierte sollen mit numerisch Versierten und Computercracks zusammenarbeiten. Im Idealfall wird jeder Vortrag von einem anderen Gruppenmitglied gehalten. Dabei kommt jedem/jeder TeilnehmerIn in unterschiedlichen Phasen des Seminars eine Führungsrolle zu.

Als Themen sind zur Bearbeitung vorgesehen:

Mathematik und Literatur

  Edgar Allan Poe, Die Grube und das Pendel

Wir werden dieses spezielle literarische Pendel modellieren und feststellen, ob es sich wirklich so bewegen kann wie in der klassischen Story. Dabei stossen wir auf sog. Besselsche Differentialgleichungen. Auch ohne explizite Lösung sind wir mit Hilfe asymptotischer Analysis in der Lage, einige qualitative Aussagen über die Lösung und damit über den Wahrheitsgehalt der Geschichte zu treffen.

  Sir Arthur Conan Doyle, Sherlock Holmes in: Die Abtei-Schule: Kann ein Fahrrad eine einspurige Reifenspur hinterlassen?

Im Krimi The Priory School (Die Abtei-Schule) von 1904 (erschienen in: Die Rückkehr des Sherlock Holmes) untersuchen Sherlock Holmes und Watson Reifenspuren. Sie finden heraus, welche Spur zum Hinterrad gehört und können so die Fahrtrichtung ermitteln, was am Ende den Mörder überführt. Wir wollen diesen Krimi weiterdenken:

• Hätte ein schlauerer Mörder es schaffen können, nur eine Reifenspur zu hinterlassen? (Antwort: Ja)
• Wie könnten in diesem Fall Holmes und Watson bestimmen, in welche Richtung das Rad gefahren ist.
• Zusatzfrage: Kann man ein Paar von Reifenspuren erzeugen, denen man keine Fahrtrichtung zuordnen kann?

  Mathematische Modellierung eines Ruder-Vierers
  Mathematische Modellierung von Luftwiderstand

am Beispiel Fallschirmsprung, Basketball-Freiwurf, Fussball, Baseball oder auch das Weitsprung-Wunder von Bob Beamon in Mexico City 1968, etc. Auch hier wird sich zeigen, dass die (häufige) lineare Modellierung des Luftwiderstands zu starken Abweichungen führt und ein quadratisches Gesetz, also eine nichtlineare Differentialgleichungen, den Effekt wesentlich besser beschreibt.

  Optimales Schaukeln

Modellierung von einer Kinderschaukel mit sitzendem oder stehendem Schaukler. Was ist die optimale Strategie, um die Schaukelamplitude zu maximieren? Schaukeln Kinder intuitiv optimal?

  Mathematische Modellierung des Hantavirus

Es wird die Ausbreitung des Hantavirus in einer Population modelliert. Anschließend wird ein sog. Nichtstandard finite Differenzenverfahren (NSFD) konstruiert und gezeigt, dass die diskreten Lösungen des speziellen numerischen Schemas die gleiche Dynamik besitzen wie die kontinuierlichen Lösungen des zugrundeliegenden Differentialgleichungs-Modell.

  Mathematische Modellierung von Diäten

Es wird eine Hierarchie von mathematische Modellen (nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen) hergeleitet. Alle Gleichungen sind nicht explizit lösbar. Die Methoden der klasssischen asymptotischen Analysis erlauben uns trotzdem, wichtige qualitative Aussagen über die Lösung zu gewinnen. Diese werden anschließend numerisch überprüft.

  Mathematische Modellierung von tierischen Ökosystemen am Beispiel des Spruce Budworm ('Fichten-Wickler')
  Chaos in Liebesaffären

Wir werden das Auf und Ab in Liebesbeziehungen mit einem zeitverzögerten System von nichtlinearen Differentialgleichungen modellieren. Dabei werden wir u.a. die Frage beantworten, ob sich Gegensätze anziehen, wann Chaos auftreten kann (und wie das zu interpretieren ist) und wann global stabile Lösungen existieren; wie z.B. ist ein Verzweigungspunkt der Liebe-Hass Kurve zu deuten? Das Problem soll auch mit der freien MATLAB Bifurkationssoftware MatCont untersucht werden.

  Dynamik von Spermien / Chemotaxis

In einem aktuellen Paper (Friedrich, Jülicher, PNAS, August 2007) wurde die mathematische Modellierung von Spermienbahnen veröffentlicht. Beim Seeigel müssen die Spermien den Weg zur Eizelle im offenen Meer über mehrere Kilometer finden. Das schaffen sie nur mittels Botenstoffen, die von der Eizelle abgegeben werden und schwimmen auf einer spiralförmigen Bahn ins Ziel. Es wird das Chemotaxis-Modell, die Frenet-Serret Gleichungen der Spermienbewegung sowie numerische Lösungsmethoden vorgestellt.
PS: Menschliche Spermien werden auch chemotaktisch gesteuert, benutzen aber andere Bahnen.

  Mathematik und Wein

Bei diesem Thema werden wir die Weinherstellung und die Weinverkostung, die mathematisch gesehen nichts anderes als ein Algorithmus ist, modellieren und analysieren. Dabei werden wir auf ein chaotisches dynamisches System stoßen und zeigen wie Mathematik bei Herstellung und Verkostung helfen kann..

  Einsturz der Tacoma-Narrows Brücke

Es werden verschiedene lineare und nichtlineare Modelle (gewöhnliche Differentialgleichungen) für die Brückenschwingungen betrachtet. Es zeigt sich, dass lineare Modelle nicht in der Lage sind, die Instabilität (Absturzursache) zu modellieren; man muss nichtlinear rechnen. Im linearen Modell würde die Brücke heute noch stehen. Für das nichtlineare Modell werden wir einen problemangepassten numerischen Löser (Gradientenmethode) konstruieren.

  Nichtlineare Modelle der Optionsbewertung

Die klassische Black-Scholes(-Merton) Gleichung zur Bewertung von europäischen und amerikanischen Optionen wurde unter vielen (unrealistischen) Annahmen hergeleitet. Realistischere Modelle, die z.B. Transaktionskosten oder marktbeherrschenden Stellungen modellieren, sind nichtlineare Differentialgleichungen. Wir werden hier die Modelle von Leland, Barles/Soner, Frey/Stremme und die Risk Adjusted Pricing Methode vorstellen.

  Modellierung von Lawinenbewegungen - Die Savage-Hutter Gleichungen

Es werden eine typische Lawinendynamik modelliert (Stichworte: Theorie granularer Strömungen, dickengemittelte Bewegungsgleichungen) was auf die Savage-Hutter Gleichungen führt. Diese Gleichungen können in Spezialfälen mit Hilfe von Transformationstechniken exakt gelöst werden. Ebenso soll die numerische Lösung mit Hilfe vobn modernen kinetischen Verfahren diskutiert werden.

  Rohölgewinnung: Die Buckley-Leverett-Gleichung
  Dynamik eines Verkehrsflusses mit Ampelschaltung
  Umwelttechnik (Sedimentation einer idealen Suspension): Die Kynch-Gleichung
  Dynamisches Modell für das Wachstum und die Grössenverteilung von multiplen metastatischen Tumoren
  Hyperbolische Modelle für die aktive Orientierung von Bakterien (Chemotaxis) Aggregationen von Bakterien und Schwarmbildung

  Mathematische Einführung in Verzweigungs-Iterationen und Chaos
  weitere Themen folgen ....

Scheinkriterium:

  Präsentation

• Erläuterung des Anwendungsproblems
• Mathematische Modellierung (evtl. mehrstufig)
• Lösung / Analyse / Numerik
• Diskussion der Resultate und ihrer Relevanz für die Anwendung
• Für die Präsentation wird Prosper bzw. HA-Prosper oder PPower4 oder Beamer empfohlen
  ( Verschiedene Präsentationsprogramme)
• Evtl. numerische Simulationen (möglichst in Matlab, Scilab oder Octave)
  Schriftliche Ausarbeitung (ca. 10 Seiten, inkl. Beispiele)
  Regelmässige Teilnahme am Seminar

Vorkenntnisse: Basiswissen mathematischer Grundvorlesungen wird vorausgesetzt.
Wünschenswert ist eine erfolgreiche Teilnahme an Lehrveranstaltungen der praktischen und numerischen Mathematik sowie einige Programmiererfahrung.

Literatur: wird im Seminar ausgegeben

Didaktische Vortragstipps:
Wie halte ich einen Seminarvortrag (M.Lehn, Mainz)
Artikel 1, Artikel 2, Artikel 3

Vortragsliste

ehrhardt@math.tu-berlin.de